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2021年3月11日 (木)

円周率はどのように求められるか

 古代のエジプト、バビロニア、インド、ギリシアの哲学者たちは、円の円周と直径の比が円の大きさに関係なく、円周は直径の3倍より少し大きい値になることを知っていました。そして、その円周の比の正しい数値を求めることに多くの時間が費やされました。その数値とは円周率のおとです。

 円周率は任意の大きさの円の円周をその直径で割った値です。円周率は記号πで表します。πはギリシア文字で周辺・円周・周などを意味するπερίμετροςあるいは περιφέρειαに由来します。また、円周率は整数の比で表すことができない無理数で循環しない無限小数です。

 π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288  …

 いま直径 d の円の円周を c とすると、

 c = πd

で表すことができます。ここで円周 c と同じ長さの直線と直径 d と同じ長さの直線を比較すると次の図のようになります。円周は直径の(3+α)倍であることがわかり、αを実測してみると約0.14dであることがわかります。


円周cと直径dの比較

 この図からもわかる通り、目的に応じて円周率を3として概算することは理にかなっていると思います。しかし、同時に概算でどれぐらいのずれが生じるかを想像できないと「目的に応じて」を見失うことになってしまいます。

 たとえば直径 dの円周を 3d と概算したとしましょう。実際の円周は約3.14dですが、3dは次の図のように直径 d の円に内接する正六角形の周の長さと同じです( d/2 × 6 = 3d )。3d は直径 d の円周の近似値であり、図から円周は 3d より大きいことがわかります。さらにこの円に外接する正方形を考えてみましょう。この正方形の周の長さは 4d ですから、円周は4dより小さいことがわかります。つまり、

 3d < 円周の大きさ < 4d となります。


半径 dの円に内接する正六角形

 続いてこの円に外接する六角形について考えてみましょう。直角三角形を考慮すると一辺の長さは d/(2√3)×2 で d/√3 になります。よって、この六角形の周の長さは 6d/√3 で約3.46d になります。つまり、

 3d < 円周の大きさ < 3.46d となります。


半径 dの円に外接する正六角形

 円周をより正確に求めるためには、正多角形の角数を増やす必要があります。次の図は半径 dの円に内接および外接する正十二角形を示したものです。六角形のときと同様にそれぞれの周の長さを求めると、

 3.11 d < 円周の長さ < 3.22d となります。


半径 dの円に内接および外接する正十二角形

 図は省略しますが、さらに正多角形の角数を増やしていくと、

 正二十四角形 3.1326d < 円周の長さ < 3.1597d

 正四十八角形 3.1393d < 円周の長さ < 3.1461d

 正九十六角形 3.1410d < 円周の長さ < 3.1427d

 正五百角形  3.1415d < 円周の長さ < 3.1416d

となり、本当の円周の長さ 3.141592654…d に近づいていきます。

 直径dが1の場合は円周が円周率と同じ大きさになります。つまり、長さ1の直線を直径する円を描いた場合、その円周が円周率になるということです。実は円周率はこのように求められたのです。古代ギリシアのアルキメデスは正九十六角形を使って円周率を求めたそうです。

 さて図では円周の長さは決まっているのに、数字で表すと小数点以下が延々と続く無理数となります。同じように長さ1の直線を1辺とする正方形を描いた場合、その対角線の長さは√2になります。√2も小数点以下が延々と続く無理数となります。単純な1を基本とする図形から無理数が現れてくるのは面白いですね。

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2021年3月 9日 (火)

バベルの図書館の所蔵数は何冊か

バベルの図書館とは

 バベルの図書館はアルゼンチンの作家ホルヘ・ルイス・ボルヘスが1941年に発表した短編小説「バベルの図書館」に登場する同名の図書館です。この図書館にはいったいどのような本がどれぐらい所蔵されているのでしょうか。


ホルヘ・ルイス・ボルヘス(1940年代)

バベルの図書館の構造

 まずはバベルの図書館の構造からみていきましょう。バベルの図書館は蜂の巣状に無限に連なった六角形の部屋が無限に積み重なった建物です。それぞれの六角形の部屋は図書の閲覧室となっており、すべて同じ構造をしています。六角形の部屋の中央には吹き抜けがあります。6面のうち4面は本棚となっています。ひとつの本棚は5段で1段には本が32冊収蔵されています。残りの2面はホールに通じています。このホールには2つの入り口があります。ホールの内部の左右には小部屋へと続く扉があります。小部屋のひとつは立ったまま眠ることができる寝室、もうひとつはトイレになっています。このホールから同じ階層の隣の閲覧室に移動することができます。また、上下の閲覧室に移動するための螺旋階段が設置されています。照明はランプという名前の光を放つ果実でもたらされています。


バベルの図書館の構造(想像図)

 バベルの図書館の構造は下記のサイトに掲載されている図がわかりやすいと思います。

OPEN CULTURE

What Does Jorge Luis Borges’ “Library of Babel” Look Like? An Accurate Illustration Created with 3D Modeling Software

 さてバベルの図書館には、司書・探索係・翻訳者が住んでいます。彼らはバベルの図書館で一生を過ごし、死者は中央の吹き抜けから落とされます。一人の年老いた司書の回想によりバベルの図書館の物語が進んでいきます。

バベルの図書館の所蔵本

 バベルの図書館に所蔵されている本は全て同じサイズで、どの本も1ページあたり80文字×40行で410ページという構成になっています。本に使われている文字は小文字のアルファベット22文字と空白、コンマ、ピリオドの3文字を合わせた25文字しか使われておらず、同じ本は存在しません。

 バベルの図書館はこの25文字の組み合わせからなる文章でできあがった本をすべて収蔵しています。つまり、これまでに出版された本、これから出版される本がすべて所蔵されいるのと同時にでたらめに文字が羅列しているだけの意味のない本も収蔵されています。たとえば全てが同じアルファベット1文字が羅列した本やすべて空白の本などもあるはずですし、シェークスピアの作品も収蔵されているはずです。でたらめに文字が並んだ本が多いはずですから、バベルの図書館に収蔵されている本の大半は意味のない本ということになります。

バベルの図書館の所蔵数

 バベルの図書館に所蔵されている本の数は文字の組み合わせで考えることができます。1冊の本は80文字×40行×410ページ=1,312,000文字から成ります。

 使われている25文字の組み合わせでできる本の数は25を1,312,000回掛け算した数字になります。つまり、251312000 冊となります。

 これを普通の電卓で計算しようとするとオーバーフローでエラーになってしまいますが、計算サイトでは計算できます。答えは

 1.95603991760133212911×101834097 冊

 となります。

 バベルの図書館にはとんでもない数の本が所蔵されていることになります。

バベルの図書館の所蔵本はどのようにして作られたか

 バベルの図書館の所蔵本はすべて25文字の組み合わせでできています。でたらめに文字が羅列した本が多数あるということは、これらの本は乱数で文字を発生して並べて作られたと考えられます。

 それではシェークスピアのような作品ができあがる確率はどれぐらいでしょうか。確率は0ではありませんが、作品ができあがる可能性はかなり低く奇跡に近いでしょう。つまり、バベルの図書館に意味の通じる本が収蔵されているのは奇跡的なことで、いったいどれぐらいの時間をかけて意味の通じる所蔵本ができあがるのか想像がつきません。

 乱数で文字列を発生し一冊の意味ある本ができあがる確率は「無限の猿定理」で考えることができます。「無限の猿定理」についてはまたの機会に紹介することにしましょう。

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2021年3月 5日 (金)

Mac Book Pro 13 Late 2013でmacOS Big Sur 11.2.2にアップデート

 2020年11月12日にリリースされたmac OS Big Sur 11をMacBook Pro (Retina, 13-inch, Late 2013)およびMacBook Pro (Retina, 13-inch, Mid 2014)にアップデートすると起動不能になり文鎮化するという重篤な問題がありました。Appleは11月19日にこの2つのMac Book Proに対するBig Sur 11.0.1(20B50)のアップデートを一時的に停止しました。12月14日にBig Sur 11.1(20C69)がリリースされ、アップデートが再開されました。

 自分は問題の対象となっているMacBook Pro (Retina, 13-inch, Late 2013)を使っているので、しばらくアップデートを見合わせていましたが、2021年2月9日にBig Sur 11.2.1(20D74)がリリースされた時点でアップデートを行いました。アップデートは成功し、Mac Book Proが文鎮化することはありませんでしたが、アップデートのプロセスでは何度も再起動を繰り返したり、電源が落ちたりして、かなり不安でした。順調にアップデートできたとは言えない状況で、ログイン画面が出たときにはホッとしました。この経緯は本ブログの2月11日の記事「Mac Book Pro 13 Late 2013にmacOS Big Sur 11.2をインストールしてみた」まとめてあります。

 本日、2月25日にリリースされたBig Sur 11.2.2をインストールしてみました。簡単にアップデートできるだろうと思って実行したのですが、何度も再起動を繰り返し、電源が落ちたかと思ったら突然起動したりして、なかなかインストールが終了しません。USBのスピーカーとSDカードが装着されたままだったので、そのまま取り外し、あとはMacに任せることにしました。

 プログレスバーが途中で止まったり、何度が再起動を繰り返したりして、かなり不安な状況が続きましたが、やがてプログレスバーの下部に「あと10分」と表示されてからは順調にカウントダウンが進んで「あと1分未満」となりログイン画面が表示されました。

 とりあえずは無事にアップデートが完了したので良いのですが、アップデート中に何が起きているのかよくわかりません。

 ところでAppleによると、11.2.2のアップデートの内容は下記の通りです。

「macOS Big Sur 11.2.2 では、一部の他社製の非準拠セルフパワー USB-C ハブやドックに接続した場合でも、MacBook Pro (2019 年以降のモデル) および MacBook Air (2020 年以降のモデル) が破損しないように防止できます」

 新しいMacでもこのような問題が起きているようですので、安定するまでにはもうしばらくかかりそうです。

 自分もそろそろ買い替え時期ですが、MacBook Pro (Retina, 13-inch, Late 2013)のデザインは気に入っているで、使える間はもうしばらくは使いたいと思っています。

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2021年2月24日 (水)

地球照とは

 月齢27から3ぐらいまでの大きく欠けた三日月や有明月をよく見てみると、月が欠けた部分に月の丸い姿がうっすらと見えるときがあります。これは地球が反射している太陽光が月の表面を照らしているために起こる現象で地球照といいます。


下弦の月の地球照

 月が大きく欠けて見えるとき、太陽光を反射して光っている月の表面の面積が小さくなります。また「月の満ち欠けの仕組み」の図からわかる通り、月から見える地球が満地球に近くなり地球から月にやってくる反射光が多くなります。そのため地球照が見えやすくなります。

 新月のときは月から見える地球が完全な満地球となり地球からの反射光が最大となりますが、新月は夜間に見ることができないので地球照も見ることはできません。月が新月の位置にあり、皆既日食が起きたときは地球照を見ることができます。

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2021年2月12日 (金)

絵とき「光学」基礎のきそ (Electronics Series)

絵とき「光学」基礎のきそ (Electronics Series)

齋藤 晴司 (著)

 これも中古本しか入手できなくなりました。下記の目次を見るとわかりますが、オーソドックスな光学の解説書に仕上がっており、記述もわかりやすいです。定価は2,310円と少々高めでしたが、現在は手頃な価格で購入できます。図もしっかりしていますがカラーではないのがちょっと残念です

内容

光学に対するイメージをつかみ、使いこなせることを目標にした光学の入門書。極力数式を使わずに光の基本的な性質から結像や干渉、光学製品のしくみまで光学の基礎を豊富な図とともにやさしく解説する。

単行本: 224ページ(A5)
出版社: 日刊工業新聞社 (2011/11)
ISBN-10: 4526067849
ISBN-13: 978-4526067846
発売日: 2011/11

目次

はじめに

第1章 光とは
1-1 光の直線性
1-2 光の重なり
1-3 宇宙からの光
1-4 光電効果
1-5 光の強さとエネルギーの関係
1-6 光は波か粒子かの問題
1-7 光の速度について
1-8 レーザの光について

第2章 光の基本的な性質(波としての光・波動光学)
2-1 波としての振舞い
2-2 光の伝播
2-3 光の要素(波長、振幅、振動数、周期)
2-4 物質中の光の速度
2-5 基本となる光の表し方
2-6 波の式における波長と周期
2-7 光の回り込み
2-8 光の進み方
2-9 光波としての反射と屈折
2-10 光の位相について
2-11 光の分光
2-12 光の集合度合い

第3章 反射と屈折(粒子としての光・幾何光学)
3-1 光線と光束
3-2 反射と屈折による光路
3-3 水中での物体の見え方
3-4 全反射
3-5 ファイバーの原理
3-6 屈折率
3-7 プリズムによる反射と屈折
3-8 球面による屈折と反射

第4章 光学系による結像(レンズによる結像)
4-1 レンズの性質
4-2 レンズによる結像作用
4-3 像の大きさと明るさ
4-4 像の形態と深度
4-5 レンズの組み合わせ
4-6 レンズの収差
4-7 像の評価

第5章 光の干渉
5-1 強め合う光と弱め合う光
5-2 干渉縞による計測
5-3 薄膜コートについて
5-4 シャボン玉
5-5 CD、DVDのデータの読み取り(光の干渉の利用法)

第6章 光の回折
6-1 回折による光
6-2 開口形状による回折
6-3 分解能のいろいろ
6-4 回折格子について(光の回折の利用法)

第7章 光の偏光
7-1 光の振動方向
7-2 偏光板の特性
7-3 反射による偏光
7-4 複屈折物質の偏光
7-5 波長による位相のズレ
7-6 リターデーションの違いによる分光特性と色
7-7 液晶ディスプレーの構造(光の偏光の利用法)

第8章 色と明るさ
8-1 眼の構造
8-2 光の色
8-3 色度座標
8-4 色温度
8-5 明るさ

第9章 光学製品
9-1 ルーペの光学系
9-2 顕微鏡の光学系
9-3 望遠鏡の光学系
9-4 カメラの光学系

第10章 自然界の光
10-1 空が青い理由
10-2 朝夕の太陽光のスペクトル
10-3 虹の色について
10-4 ステンドグラスの色の鮮やかさ
10-5 蜃気楼について
10-6 グリーンフラッシュ

参考文献
索 引

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